Завдання 117 - експеримент з монетою
- Умова У випадковому експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що...
- Наведемо інше рішення
- Наведемо ще одне рішення
- Примітка
- Правильну відповідь
Умова
У випадковому експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно два рази.
Рішення
Знайдемо ймовірність за формулою для обчислення класичної ймовірності $ P = \ frac {m} {n} $, тобто як відношення кількості варіантів «сприятливих» до числа всіх можливих варіантів. Всього рівно можливих випадків при трьох підкидання монети - 8: орел-орел-орел, орел-орел-решка, орел-решка-решка, орел-решка-орел, решка-решка-решка, решка-решка-орел, решка-орел- орел, решка-орел-решка. «Сприятливими» є ті результати, в яких орел випав два рази. Значить, сприятливих результатів три: орел-орел-решка, орел-решка-орел, решка-орел-орел. Отже, шукана ймовірність дорівнює
\ [3: 8 = 0,375 \].
(Цей підхід скрутний в разі великого числа бросаний монетки.)
Наведемо інше рішення
Підходять три варіанти: орел-орел-решка, орел-решка-орел, решка-орел-орел. Для підрахунку ймовірності появи кожного з них застосуємо правило множення ймовірностей незалежних подій. А так як ці три варіанти - події несумісні (не з'являвся одночасно), ймовірність їх суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
\ [\ Frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} = 0,375 \].
Наведемо ще одне рішення
Вірогідність випадання монетки однією стороною і двічі - іншою стороною дорівнює \ [0,5 \ cdot 0,5 \ cdot 0,5 = 0,125 \]. Вибрати з цих «трьох» сторін два орла можна $ C_ {3} ^ {2} = \ frac {3!} {2! (3-2)!} = 3 $ способами. Отже, шукана ймовірність дорівнює 0,375.
Примітка
Останнє міркування - не що інше, як висновок формули Бернуллі для нашого випадку. У загальному випадку, якщо проводиться n випробувань, в кожному з яких деяка подія настає в ймовірністю p, то ймовірність настання цієї події рівно k раз дається формулою $ C_ {n} ^ {k} {{p} ^ {k}} {{ \ left (1-p \ right)} ^ {nk}} $.
Правильну відповідь
0,375
Дивіться також:
- Комбінаторика в завданні B6: середній тест
- Комбінаторика в завданні B6: легкий тест
- геометрична ймовірність
- Пробний ЄДІ 2012. Варіант 8 (без похідних)
- Пробний ЄДІ з математики 2015: 8 варіант
- Формула простого відсотка: як знайти початкове значення